• Catedrático, Escuela de Matemática, Universidad de Costa Rica.
• B. Sc. en Ciencias Matemáticas y M. Sc. en Matemáticas. University College, Dublin (1972-73).
• Ph. D. en Matemática. University of Rochester. USA (1980).
• Catedrático, Escuela de Matemática, Universidad de Costa Rica.
• Profesor Visitante. CINVESTAV del IPN. México (1991).
• Miembro Asociado del International Centre for Theoretical Physics, Trieste. Italia (1998-2005).
• Profesor Visitante, Universidad de Varsovia, Polonia (2005).
• Visitante Distinguido. Universidad Complutense de Madrid, Esparta (2007).
• Subdirector del CIMM. Universidad de Costa Rica, 2012-2015. 

Para su tesis doctoral, Joseph C. Varilly estudió ciertos problemas de la mecánica estadística cuántica Posteriormente, trabajó con la mecánica cuántica en espacios de fases (1985-1995). A partir de 1992, hizo investigaciones en la geometría no conmutativa, tanto en sus aplicaciones en la física de partículas como en sus aspectos matemáticos estructurales. En años recientes, ha colaborado en diversos estudios en la química cuántica y en la teoría cuántica de campos. Además, es autor de un texto elemental de geometría plana y de dos libros sobre la geometría no conmutativa. 

Publicaciones más notables:

• Algebras ofdistributionssuüablefor phase-space quantum mechanics. Journal of Mathemat- ical Physics 29, 869-879 (1988). Con José M. Gracia-Bondía.
• The Moyal representation for spin. Annals of Physics 190. 107-148 (1989). Con José M. Gracia-Bondía.
• The Standard Model as a noncommutative geometry: the low energy regime. Physics Reports 294. 363-406 (1998). Con José M. Gracia-Bondía y Carmelo P. Martín.
• Elements of Noncommutative Geometry, Birkháuser, Boston, 2001. Con José M. Gracia- Bondía y Héctor Figueroa.
• The Dirac operator on SUq(2), Communications in Mathematical Physics 259. 729-759 (2005). Con Ludwik Djjbrowski, Giovanni Landi. Andrzej Sitarz y Waltervan Suijlekom.
• Introduction to Noncommutative Geometry. EMS Publishing House, ZUrich, 2006.
• Density functional theory on phase space. International Journal of Quantum Chemistry 112. 1134-1164 (2012). Con Philippe Blanchard y José M. Gracia-Bondía.
• Riemannian manifolds in noncommutative geometry. Journal of Geometry and Physics 62, 1611-1638 (2012). Con Steven Lord y Adam Rennie.
• Elementos de geometría plana, segunda edición. Editorial de la UCR, San José, 2014.
• Improved Epstein-Glaser renormalization in x-space versus differential renormalization, Nuclear Physics B 886, 824-869 (2014). Con José M. Gracia-Bondía y Heidy Gutiérrez.